Vous connaissez certainement l'équation a.x2 + b.x + c = 0, où a, b, c sont des nombres réels fixés et x est l'inconnue, et la formule :
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Vous connaissez certainement l'équation a.x2 + b.x + c = 0, où a, b, c sont des nombres réels fixés et x est l'inconnue, et la formule : x = (voir illustration)qui donne les solutions (formule déjà connue des scribes babyloniens au xviiie siècle avant notre ère). Si b2 - 4ac est positif, il y a deux solutions (une pour le +, l'autre pour le -) : s'il est nul, une seule solution et s'il est négatif, aucune solution réelle. En effet, le carré d'un nombre réel est toujours positif (par exemple, (-1).(-1) = +1), donc un nombre négatif n'est jamais un carré et donc la racine d'un nombre négatif n'existe pas. Pendant longtemps, les mathématiciens ont conclu qu'il n'y a pas de solution. Pour l'équation du troisième degré : a.x3 + b.x2 + c.x + d = 0 et celle du quatrième degré, une méthode de résolution a été découverte au xvie siècle par Del Ferro, Tartaglia et Ferrari, et publiée en 1545 par Cardano. Un phénomène nouveau apparaît : pour l'équation du troisième degré, on peut avoir trois solutions réelles, mais le calcul pour y parvenir fait intervenir des nombres de la forme (illustration 2)Ces nombres n'existent pas, mais on peut les utiliser dans des calculs et obtenir des résultats corrects ! On les a donc admis, mais ils furent appelés " imaginaires " par Descartes en 1637, puis " complexes " par Gauss au xixe siècle. La théorie des nombres complexes s'est développée à partir de cela. Aujourd'hui, elle nous paraît élémentaire, mais le parcours historique a été long. Un nombre complexe est de la forme a + b.i, où a et b sont des nombres réels et i est la notation standard pour i = (illustration 2)L'addition et la multiplication de deux nombres complexes n'ont rien de mystérieux, elles s'effectuent en suivant les règles de calcul habituelles, plus la règle i.i = -1. Donc, pour l'addition (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i et pour la multiplication (a + b.i).(c + d.i) = a.c + b.d.i.i + a.d.i + b.c.i = a.c - b.d +(a.d + b.c).i puisque i.i = -1. Aujourd'hui, à peu près tous les domaines des mathématiques et de la physique utilisent couramment les nombres complexes. Revenons aux équations avec celle du cinquième degré, a.x5 + b.x4 + etc = 0. Après de longues recherches d'une formule donnant les solutions, la surprise a été grande quand Niels Abel (1802-1829) et Evariste Galois (1811-1832) ont démontré que pour les équations du cinquième degré ou plus il n'y a en général pas de formule donnant les solutions sous forme d'une expression en les coefficients a, b etc ne faisant intervenir que les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) et l'extraction de racines carrées, cubiques, etc. Galois précise les cas particuliers où ces formules existent, et introduit pour cela la notion de groupe, qui est omniprésente en mathématique et en physique. Que faire quand il n'existe pas de formule donnant les solutions d'une équation ? Pour toutes les équations polynomiales dont nous parlons, Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) a démontré que les solutions existent toujours dans l'ensemble des nombres complexes. On peut ensuite utiliser des méthodes de calcul numériques avec l'aide d'un ordinateur pour obtenir des approximations des solutions, aussi précises que l'on veut.